内山茂男

ふと疑問に思うことがあって、虹に関する計算をしてみました。天文の話ではないのですが、 これも空に見える現象ということで、まがたまに書いておきます。

虹の基本

夕立の後に虹が見えることがあります。この虹が見える条件は図1のように、a) 太陽の反対側で、b) 雨が降っていて、 c) その雨粒に太陽光が直接当たっているときです。図2のように、雨粒にあたった太陽光が屈折と反射をして、 図のような方向に出て行った光が虹を作ります。このように雨滴の表面で2回屈折しますが、 その際に光の波長の違い(色の違い)によって屈折率が少し異なるために、違う色の光はちょっと違う方向に出ていきます(光の分散)。 こうして虹の色が見られるのです。

fig-1 fig-2

この虹を作る光は、図2のように太陽方向から42°程度の方向に出て行きます。 このため、図3のように、虹は太陽と反対方向を中心に半径42°程度の円を描いて見られます。 もちろん、地平線下では通常雨滴がありませんので、上だけのほぼ半円形の虹が見えます。 波長の長い赤い光の方が屈折率が小さいため、図2のように出て行く角度が少しだけ大きくなります。 結果的に、虹の外側が赤くなります。

fig-3

副虹

fig-4

きれいに虹が見えたとき、通常の虹の外側にもうひとつ薄い虹が見られることがあります。 これは副虹と呼ばれる虹です(通常の虹は“主虹”)。この虹の光は、図4のように、雨滴の中で2回反射して出てきた光なのです。 雨滴の中での反射は全反射ではありませんので、1回反射の主虹よりもだいぶ反射光が弱くなり、薄い虹となります。 入射してきた太陽光となす角は、主虹が42°程度に対して、副虹は51°程度ですから、主虹の外側にできます。 図2と比べると、赤色光と紫色光の配置が逆になっていますね。したがって、主虹と副虹では、色の順番が逆になります。

以上のような虹の解説は、いろいろなところで見られます。


雨滴への入射位置によって出る光の角度がさまざまに変わる

ここで私は図2や図4を疑問に思いました。雨滴の他のところに入射する光もあるはずです。 それらが雨滴の表面で屈折し、内部で反射してくれば、別の角度に出てくるはずです。 特に、雨滴の中心に向かって入射した光は屈折せず、1回反射でまっすぐに戻ってくるのは明らかです。 そこで、水の屈折率をもとに雨滴は球形だとして計算してみました。主虹を作る1回反射の例を3つほど図5に示しましたが、 やはり図2とは違う方向にも光が出てきます。では、どうして主虹は42°の方向にできるのでしょう?

fig-5

そこで、光が入射する位置 y/r を 0〜1 の範囲で変えて、 内部で1回反射をする光が出てくる方向θを計算して調べてみました(図6・表1参照)。

fig-6  表1. 計算に用いた光の波長と屈折率
光の波長水の屈折率
656.3nm1.3311
546.1nm1.3345
407.7nm1.3428
※ 理科年表より引用。
  波長 546.1nm は黄色に近い緑。

図7. 雨滴への光の入射位置と出る光の角度(主虹)
fig-7

計算結果は図7のグラフのようになりました。ここでは、赤・緑・紫の3色それぞれの屈折率で計算しましたから、 グラフの線は3本あり、上が赤で下が紫です。 グラフをよく見ると、主虹を作る光42°の方向というのは、グラフの極大値です。この意味するところは何でしょうか。



図8. 図7の一部拡大
fig-8

雨滴の様々な位置に入射した光は様々な方向に出ていきますから、基本的には拡散してしまいます。 でも、雨滴の0.8r 〜 0.9r 付近に入射した光はあまり拡散せずに、そろって42°方向に出てきます。 このため、この方向は光が比較的強いのです。すなわち、極大値であることが大事なのではなく、 図7のグラフが水平に近い部分であることが大事なのです。そして、そのグラフの水平に近い部分の出てくる光の角度が、 色によって少し異なっています。図7ではわかりにくいので、図7の大事な部分を拡大したのが図8です。



同様な計算を、副虹でも行いましたので、結果を図9に示します。主虹と比べると、反射回数が1回多いので、 光の出る方向が180°(入射光と同じ方向)というケースからあり、色の分散も主虹と逆だというのがよくわかります。

図9-a. 雨滴への光の入射位置と出る光の角度(副虹) 図9-b. 左図の一部拡大
fig-9a fig-9b

次に、光が出てくる角度θと各光の相対強度も求めてみました。 この計算には屈折時の透過率や内部での反射時の反射率も考慮に入れています (これらの値は入射角によって変化します)。 主虹の計算結果を図10に示しましたが、光の強さのピークが鋭いことや、 そのピークが色(波長)によって異なることがよくわかります。このため虹の色が見えるのです。 また、θが40°以下、すなわち虹の内側にはどの色の光も少ないながらやってきます。 このため、虹の内側はうっすらと白く見えます(光が弱い→うっすらと、各色が重なる→白く)。 これはそれほど目立つ現象ではないので、特に気にしないと気が付かないことが多いでしょう。 でも、きれいな虹の写真を見ると、明らかに内側が白っぽく写っています。

同様な計算を、副虹(雨滴内で2回反射)でも求めてみましたので、図11に示します。 やはり、ピークは51°付近になり、色(波長)によってピークの位置が異なります。 そして、色の順番も主虹と反対であるとともに、副虹の外側にうっすらと白い光が見えるであろう、ということもわかります。 また、副虹の光の強度は主虹の6分の1程度であることもわかります。

図10. 主虹 図11. 副虹
fig-10 fig-11

雨滴内部で1回も反射しない光は?

fig-12

雨滴内での反射率はあまり高くありませんから、図12のように、雨滴内部で1回も反射せずに出てくる光が最も強いはずです。 この光で虹が見えれば明るく見えるはずですが、見えないのでしょうか?  これも入射位置 y を変えて出てくる屈折光の角度θ(図12)を調べてみました。結果は図13に示しました。 左のグラフを見ると「極値」がありません。結果的に、特に光が集中するところができないのです。 また、色(波長)による光の強度の違いもほとんどわかりません。結果的に虹はできないのです。

図13. 雨滴内部で「反射なし」の場合
fig-13a fig-13b

雨滴内部で3回反射した光は?

fig-14

雨滴内部で3回反射した光についても計算して求めてみました。計算結果は図15のとおりで、 太陽と反対方向から139°程度のところ、すなわち、「太陽方向を中心にした半径41°程度の虹ができる」というものでした ( 180°−139°=41°)。 気を付けてほしいのは、普通の虹は、「太陽と反対方向」を中心に半径42°程度のところですが、 この3回反射の光は「太陽方向」を中心としていることです。このような虹の話を私は聞いたことがありません。 その原因として、a) 太陽方向に雨滴があり、その雨滴に太陽光が直接当たっている、という状況はほとんどない、ということと、 b) 内部で3回も反射すると光がかなり弱くなり、明るい空の中では認識できない、ということだと思います。 でも、太陽から40°もずれたところだし、運がよければ見えたりしないのでしょうか?

図15. 雨滴内部で「反射3回」の場合
fig-15a fig-15b

虹と似た現象

太陽を中心として丸く見えるものとして、暈(かさ)があります。これは、月を中心として見えることもあり、 半径22°程度で、白っぽく見えますが、よく見ると虹のように色がついています。 水滴内部での3回反射も太陽を中心として形成されるはずですが、この暈とは円の大きさが全く違います。

fig-16

この暈は、薄い雲があるときにできます。この薄い雲はかなりの上空にあり、そのあたりはかなり低温なので、 水滴ではなく「氷晶」が雲を形成しています。この氷晶は六角柱をつくっており、図16のように入射して屈折した光が暈を作ります。 氷晶は空の上でいろいろな向きを向いているので、その角度を変えて屈折光の出る方向θを求めてみたところ、 図17左のように、22°付近で、確かに極値となりました。また、その光の相対強度も簡略的に求めてみましたが、 きれいなピークを作り、色による分散も出ていました。 (光の強度をきちんと求めることはできていません。雨滴はほぼ球形ですから簡単ですが、 氷晶は六角柱で柱の長さもばらばらでしょうから考慮すべき要素が多く、対応し切れていません。 ここに示したのは「簡略的に」求めた結果です)

図17. 暈(氷晶で内部反射なし)
fig-17a fig-17b

この氷晶はいろいろな向きをしていると書きましたが、空気抵抗の関係で六角板が水平になるものが多いそうです。 このため、太陽高度が低いときには、暈のなかでも太陽と同じ高度付近が特に明るく輝きます。この現象を「幻日」と呼んでいます。 私は何回か見たことがありますが、あなたは見たことありますか?

幻日photo 幻日拡大photo
太陽に薄雲がかかっているので、写真では広い範囲が真っ白になっていますが、
肉眼では太陽がくっきりとまぶしく見えていました。
幻日のアップです。肉眼ではもっときれいに見えました。
明るく光っていますが、まぶしくはありません。


この文章は、私の所属する“さいたま☆天文同好会”の会報「まがたま」82号(2011年9月発行) に掲載したものを一部書き直したものです。


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