天頂引力を考慮した ZHR算出時の輻射点高度補正
by 内山茂男
1. 天頂引力 とは
(1-1) 天頂引力の原因
流星は輻射点方向から地球に接近してくる（図1. A）。
地球の引力がなければこのまま直進し、大気に突入。 hR がもともとの輻射点高度。
→ 現実には、流星物質も地球の引力を受ける。
→ 加速されるとともに、経路が下向きに曲がる（B）。
→ 見かけ上の輻射点高度 h' は本来の値 hR より高くなる。（輻射点が天頂に近くなる）
⇒ この効果を天頂引力（Zenith attraction）と呼ぶ。
したがって、次のような性質がある。
＊ 輻射点が天頂であれば、天頂引力は 0。地球引力による加速はあっても、輻射点方向の移動はない。
一方、輻射点高度が低くなると天頂引力による輻射点の浮き上がりは大きくなる。
＊ 対地速度が速い流星は、ほとんど曲がる暇なく大気に突入するので天頂引力は小さく、
遅い流星ほど天頂引力が大きくなる。
(1-2) 天頂引力の結果
＊ポン・ウィンネッケ群（18km/s）は、低空に来ると10度以上も輻射点が浮き上がり、
本来の輻射点が地平線下13度でも流星が出現する可能性がある。
＊遅いと言われるおうし群（28km/s）でも、輻射点の浮き上がりはポン・ウィンネッケ群の半分以下。
＊ふたご群（35km/s）やペルセ群（59km/s）では、群判定に関して、
眼視観測レベルであれば天頂引力の影響はほとんど無視できる。
（補足）天頂引力を求める式
, ただし、
ここで、ZR：天頂引力により浮き上がった輻射点の天頂距離、 Zt：もともとの輻射点天頂距離、
Vg：対地速度（地球引力による加速前）、 V∞：対地速度（地球引力による加速後、大気減速前）。
Richardson J. (1999): "A detailed analysis of the geometric shower radiant altitude correction factor".WGN, 27:6.
2. 一般的な輻射点高度補正
＊ 図3-1は輻射点が天頂にあるときで、
図3-2は輻射点高度 hR が30度くらいのときの状況を示したもの。両者とも、
太陽系空間での流星物質の空間密度(Flux)は等しい状況とし、流星物質の間隔 d も等しく描いている。地表から見たときの流星物質の間隔を L とする。
＊ 輻射点が天頂にあるときには L = d となるが、輻射点が天頂にないときには L ＞ d となる。
すなわち、輻射点が天頂にない場合、地表から見ると流星は広い範囲に分散させられるので、流星の空間密度が低くなり、観測流星数が減少する。
これは、太陽高度が高い夏は日差しが強く、太陽高度が低い冬には日差しが弱いのと同じ原理。
＊ このように、輻射点高度によって流星数密度が変化するので、
輻射点高度補正とはこの流星数密度を補正することである。輻射点が天頂にない場合、天頂の場合に比べて流星数が d/L 倍に減少する。
したがって、 ZHR = CHR × L / d が成り立つ。
＊ ただし、 d / L = sin hR が成り立つ。
輻射点高度補正は、幾何学的な流星数の補正だけを考えれば、ZHR = CHR ÷ sin hR が成り立つ。
輻射点高度が低くなると、流星が大気の層に浅い角度で突入するため、
流星の発光光度が減少する効果もあるといわれる。このため sin hR のかわりに sin γ hR を使うことも多い。
くわしくは「流星の眼視観測の集計計算方法」の中の
「輻射点高度補正」を見てください。
3. 天頂引力が働くときに考慮すべきこと
＊ 輻射点高度 hR を天頂引力で浮き上がった高度 h' にして、輻射点高度補正を “÷ sin hR” → “÷ sin h' ”
としているケースがある。
しかし、地球引力によって流星物質は曲線を描いてきて地球大気に突入する。
→ 曲線を描くことによって流星物質の間隔（図3の d ）が変化していれば、この補正方法では正しくない。
＊ 図4-1は、地球から遠い方が流星物質は曲がりにくい場合の動き。
→ 結果的に流星物質の間隔が広がり、観測される流星数が減少するケース。
＊ 図4-2は、地球から遠い方が流星物質がよく曲がる場合の動き。
→ 結果的に流星物質の間隔が狭くなり、観測される流星数が増加するケース。
図4-1が正しいのか、図4-2が正しいのか、その程度はどのくらいかを確認する必要がある。
さらに、この図と直角な面内での流星物質の間隔も、地球引力によって変わる可能性がある。これも確認する必要がある。
4. 流星物質の間隔の変化 算出法
(4-1) 輻射点高度 hR の流星の決定
地球から十分離れたところから1つの流星物質 M0 を対地速度 Vg で、 x 軸に平行に放出する（図5-1, A）。
放出点の y 座標の値は適当に決める。
今回の計算では、放出点の x 座標の値は、地球半径の600倍（月・地球間の約10倍）に設定。
→ 流星物質 M0 は、地球引力により双曲線軌道を描く（軌道要素計算）。
→ 軌道要素より、地球大気へ到達したとき（図5-1, B）の到達点と運動方向を求める。
→ 地球大気への到達点から、輻射点高度 hRを求める。（図5-2）
もともと流星物質 M0 は x 軸と平行に運動していたので、
地平線と x 軸方向のなす角が輻射点高度 hRになる。地球を球とすると、この角度は到達点から地球中心に引いた線と y 軸のなす角に等しい。
また、地球大気へ到達したときの運動方向から、天頂引力 ZA を求める（確認する）ことができる。
→ 放出点の y 座標の値を変え、輻射点高度 hR が求めたい値になるようにする。
(4-2) 流星物質の間隔 d の変化の算出
流星群の流星物質は、太陽系空間をほぼ平行に運動している。
→ (4-1)で定めた流星物質 M0 と平行に2つの流星物質 M1, M2 を間隔 d = 1 [km] で放出する。
ただし、M0 に対して、M1 は y 軸方向に、M2 は z 軸方向に平行移動したところから放出する。（図6-1）
→ (4-1)と同様にして、地球大気に突入するときのそれぞれの突入位置を求める。
→ 地表面を基準とした流星物質 M0 と M1の間隔 L1 と M0 と M2 の間隔 L2 を求める。
それとともに地表への突入角 h' を求めることによって、流星物質の間隔 d1, d2 を求める。
（図6-2） d1 = L1 sin h' , d2 = L2
 | ←
←
← |
 |
5. 流星物質の間隔の変化 算出結果
(5-1) 輻射点高度と流星物質の間隔変化
対地速度が遅い流星群として知られている、ポン･ウィンネッケ流星群とおうし座流星群の算出結果を図7に示す。
| 図 7-1. V∞ = 18 [km/s] | 図 7-2. V∞ = 28 [km/s] |
| ポン・ウィンネッケ流星群 | おうし座流星群 |
 |  |
| 輻射点高度 hR [°] | 輻射点高度 hR [°] |
図7のグラフより、次のことがいえる。
◎ 輻射点が天頂でも、それ以外の場合でも、流星物質の間隔 d1 と d2 は どちらも狭くなっている。
もともとの間隔 d は 1km としたので、1 より小さくなっているということは間隔が減少したことを示す。
→ 流星物質が集まってくるので、流星数密度が上昇。地球引力がない場合に比較して流星が多く観測できることになる。
グラフの “ 1/(d1*d2) ” が、地球引力の影響がない場合と比較した流星数密度。
たとえ輻射点が天頂にあっても、地球引力がない場合に比べると、観測できる流星数が地球引力によって増加し、ポン･ウィンネッケ群は 1.29 倍、
おうし群は1.09倍に増えていることを表す。
◎ 輻射点高度が低くなると、y 軸方向の間隔 d1 はあまり減少しなくなる（1に近くなる）が、
z 軸方向の間隔 d2 がさらに減少する。
→ 結果的に、輻射点高度が変化しても、 d1 × d2 （流星間の断面積）はほとんど変化しない。
→ 流星数密度もほとんど変化しない。
地球の引力によって流星物質がどのように集まってくるのか、経路を求めた例を図8に示す。効果がわかりやすいように、
対地速度 V∞ = 15 [km/s] （ Vg = 10 [km/s] ) という非常に遅いものにしている。流星物質が、
地球引力によって全体的に集まってきていることがわかると思う。
IMO の眼視観測流星群リストに載っている流星群の中で最も遅いものでも、
対地速度 V∞ = 18 [km/s] 。この図のような（15km/s）流星群は主な群の中にはない。
(5-2) ZHR算出時の輻射点高度補正はどうすべきか？
a) (5-1)より、地球引力によって流星物質が集まってくるが、その程度は、輻射点高度が高い場合も低い場合もほぼ同様である。
b) ZHR は「輻射点が天頂にあると仮定したときの流星数」と定められている。すなわち、
地球引力の影響がないときとの比較ではなく、その流星群の輻射点が天頂にあるときとの比較である。
ZHR は、最微星6.5等、視野を遮るものなし、平均的な観測者1人あたり、1時間あたり、という条件もある。
c) 天頂引力によって流星の大気突入角が変化するので、この影響を「2. 一般的な輻射点高度補正」と同様に扱う必要がある。
→ a), b), c)より、 ZHRを算出する際の輻射点高度補正は、“ ÷sin h' ”で十分な精度がある。
すなわち、もともとの輻射点高度 hR のかわりに、天頂引力で浮き上がった輻射点高度 h' を用いて輻射点高度補正をすればよい。
sin γ hR を用いる場合にも、 hR のかわりに、 h' を用いればよい。このγは、
大気への突入角による流星光度の変化に関係するものであるが、大気への突入角は h' であるから全く問題ない。
(5-3) 空間密度算出への影響
(5-1)で示したように、輻射点が天頂であっても、地球引力のために流星物質の集中（観測流星数の増加）が見られる。したがって、
太陽系空間での流星物質の空間密度を ZHR から算出する場合には、この地球引力のために流星物質の集中による影響を考慮する必要がある。
地球引力の影響がない場合と比べて流量(Flux)が何倍に増加するかという流量増加率が、
対地速度 V∞ によってどのように変わるかを求めたのが図9である。
| 図 9-1. 対地速度と流量増加率 | 図 9-2. 対地速度と流量増加率 |
| V∞: 16〜71km/s | V∞: 13〜22km/s |
 |  |
図9の“ 5deg ”とは、輻射点高度 hR が 5度のケースを示している。30deg や 89deg も同様。
図9のグラフより、次のことがいえる。
◎ この地球引力による流量増加率は、対地速度 30km/s 程度まではあまり問題にならない。しかし、20km/s 以下では無視できない。
◎ 対地速度が遅くなると、輻射点高度によって流量増加率の値にやや違いが出てくる。
しかし、輻射点高度 89 度と 5 度を比較しても、それほど大きな違いにはならない。
対地速度 V∞ = 18 [km/s] よりも遅い流星群はほとんどないので、
輻射点高度による流量増加率の違いはほとんど問題にならない。
◎ この地球引力による流量増加率は、2種類の対地速度の比 “ V∞ / Vg ”に近い。
対地速度 V∞ = 18 [km/s] で、その違いは 1％、15km/s でも 3.5％の違いに過ぎない。
→ 太陽系空間での流星物質の空間密度を求める際には、
太陽系内での対地速度 Vg を使うかわりに、地球引力で加速後の対地速度 V∞ を用いれば、十分な精度で算出できる。
この研究は、第48回富士山流星会議（2007年8月）で発表したものを書き直したものです。
内山Top
流星の部屋
流星の研究発表
